复杂系统由大量组成单元构成，组元之间的动态交互与协同演化赋予了复杂系统高效自组织行为、群体智能涌现等典型特征。常见的复杂系统包括：生态系统、神经系统等自然系统，电力系统、智能无人系统等工程技术系统，以及社交网络、金融市场等社会系统。复杂系统能否维持正常运转并发挥相应的功能关键取决于其是否处于可行的系统状态。在系统实际运行过程中，当外部扰动或内部参数变化触及某一关键阈值（即临界点）时，系统将从原有正常工作状态跃迁至另一类性质迥异的状态，此类状态跃迁过程被定义为临界转变。
临界转变通常伴随系统的结构重组、行为突变或功能崩溃，进而引发不可逆的灾难性后果，如：生态系统因环境退化出现物种灭绝；脑网络因神经元异常放电导致癫痫发作；电力系统因负荷陡增引发电压崩溃；交通网络因车流密度上升陷入严重拥堵。因此，揭示临界转变的关键机理并深入阐明各类系统属性在其中的关键作用，是当前复杂系统、控制理论、人工智能、统计物理和生命科学等多领域学者广泛关注的前沿科学问题。
传统临界转变的理论研究通常假设系统组成单元之间的交互是即时的，即任一组成单元的变化会立刻对其交互对象产生影响。不同于这一假设，在真实系统中，由于组成单元之间的作用传递、信息处理与状态响应等过程，时间延迟（即时滞）效应普遍存在：组成单元一般需要一定时间才能感知并响应其交互对象的状态变化。时滞的存在可诱发极限环振荡、混沌等复杂动力学行为，会对系统功能及临界转变产生结构性影响。同时，在临界转变机理分析中引入时滞，会使系统特征方程由代数方程转变为超越方程；而系统中数量众多的组成单元则会带来高维度的状态矩阵。二者的综合作用将大幅提高作为临界转变分析基础的特征方程的求解复杂度，从而限制对临界转变机理的深入分析。
针对以上挑战，北京大学先进制造与机器人学院李阿明课题组基于时滞系统动力学与随机矩阵理论，提出了分析带有交互时滞的复杂系统临界转变理论框架。该框架除可统一刻画系统组元之间所具有的多类典型交互作用外，还适用于具有不同结构特性的复杂系统。基于该框架，他们发现时滞强度及组成单元的平衡状态（即系统在平衡态下各组成单元的状态，如复杂生态系统中各物种的稳态密度）是系统临界转变的关键驱动因素（图1A）：二者的增加会导致系统平衡态在动力学上通过Hopf分岔失去稳定性，从而触发临界转变。这一临界转变将诱发系统组成单元状态的持续振荡（图1B、C），从而显著增加组成单元大规模崩溃的风险。
图1 简单群体系统中的临界转变
进一步，他们提出了等效时滞（effective delay）这一统一调控因子，用以综合表征时滞强度及组元平衡状态的协同作用，为临界转变触发条件的量化描述提供了基础。通过解析推导临界转变触发条件所确定的状态矩阵特征值分布约束区域，他们将特征根分析问题转化为状态矩阵特征值分布问题，有效避免了直接求解大规模系统超越特征方程所带来的高计算复杂度。由此，他们给出了不同类型系统发生临界转变的数学条件，为带有时滞复杂系统临界转变的判定与定量分析提供了有效方法。
在此基础上，他们阐明了不同系统属性在临界转变中的作用机理。研究发现，系统组元间交互作用类型的多样性能够推迟临界转变的到来，是对临界转变具有阻滞效应的“抑制剂”（图2）；而系统的高度复杂性以及组成单元的强自调节作用则会加速临界转变的发生，是对临界转变具有促进效应的“催化剂”。他们还通过对真实复杂系统的数据分析，验证了上述作用机理。
图2 系统组元间交互作用多样性是临界转变的“抑制剂”
该研究揭示了驱动大规模复杂系统临界转变的普适机制，分析了不同系统属性在临界转变中的关键作用，为基于复杂交互结构特征评估系统脆弱性、识别高风险运行状态及设计抑制系统崩溃的策略提供了重要理论基础。相关成果近期以“Catalysts and inhibitors of critical transitions in ecological systems”为题发表在《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America）上。论文第一作者为李阿明课题组博士毕业生杨浴光（毕业后在麻省理工学院从事博士后研究），李阿明为通讯作者。合作者包括了林雪平大学György Barabás副教授和麻省理工学院Serguei Saavedra副教授。该研究得到了国家自然科学基金、科技部重点研发计划青年科学家项目以及江苏省应用数学科学研究中心等的支持。
